Question

【題目】在單位正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，O是B1D1的中點，如圖建立空間直角坐標系．

（1）求證：B1C∥平面ODC1；
（2）求異面直線B1C與OD夾角的余弦值；
（3）求直線B1C到平面ODC1的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設平面ODC1的一個法向量為 ，

由 得 ，令y=1，則z=﹣1，x=1

所以 ．

又 ．從而

所以B1C∥平面ODC1

（2）解：設 、 分別為直線B1C與OD的方向向量，

則由 ， 得cos＜ ， ＞= ．

所以兩異面直線B1C與OD的夾角θ的余弦值為

（3）由（1）知平面ODC1的一個法向量為 ，

又

所以B1C到平面ODC1的距離

【解析】（1）求出平面ODC1的一個法向量，證明 ，即可證明：B1C∥平面ODC1；（2）設 、 分別為直線B1C與OD的方向向量，則由 ， 得cos＜ ， ＞，即可求異面直線B1C與OD夾角的余弦值；（3）B1C到平面ODC1的距離 ．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用異面直線及其所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系．