Question

（本小題滿分12分）在如圖所示的多面體中，底面△ABC是邊長為2的正三角形，DA和EC均垂直于平面ABC，且DA = 2，EC = 1．
（Ⅰ）求點A到平面BDE的距離；
（Ⅱ）求二面角B–ED–A的正切值．

Answer 1

，

（Ⅰ）∵DE = BE =，BD =，
∴S_△BDE =，設點A到平面BDE的距離為h．
又∵S_△ABC =，V_B–ADE = V_A–BDE
∴   ∴h =
即點A到平面BDE的距離為． ……6分
（Ⅱ）∵DA⊥平面ABC，∴平面DACE⊥平面ABC
取AC的中點M，連結BM，則BM⊥AC，BM⊥平面DACE．
過M作MN⊥DE，交DE于N，連結BN，則BN⊥DE，
∴∠BNM是所求二面角的平面角．
設AC、DE的延長線相交于點P，∵DA = 2EC，∴CP = 2
由△MNP∽△DAP得，MP = 3，DA = 2
DP =，∴MN =
又∵BM =，∴tan∠BNM =． ……12分