Question

【題目】已知橢圓： 的離心率為，圓： 與軸交于點、， 為橢圓上的動點， ， 面積最大值為．　

（1）求圓與橢圓的方程；

（2）圓的切線交橢圓于點、，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ， .(2) .

【解析】試題分析：（1）由離心率公式和的關系，結合橢圓的定義可得 即為橢圓的焦點，可得 ，再由 位于橢圓短軸端點時， 的面積取得最大值 ，解方程即可得到 的值，即有圓和橢圓的方程；
（2）討論直線的斜率不存在時，求得切線的方程，代入橢圓方程可得交點和弦長；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，運用直線和圓相切的條件，再由直線方程和橢圓方程聯立，運用韋達定理和弦長公式，化為 的函數式，運用換元法和二次函數的最值求法，即可得到所求弦長的范圍．

試題解析：（1）由題意得，解得，①

因為，所以，點、為橢圓的焦點，所以，

設，則，所以，當時， ，代入①解得，所以， ，

所以，圓的方程為，橢圓的方程為．

（2）①當直線的斜率存在時，設直線的方程為， ， ，

因為直線與圓相切，所以，即，

聯立消去可得，

，

， ，

，

令，則，所以， ，

所以，所以；

②當直線的斜率不存在時，直線的方程為，解得， ， ．

綜上， 的取值范圍是．