【題目】證明:存在無窮多個棱長為正整數(shù)的長方體,其體積恰等于對角線長的平方,且該長方體的每一個表面總可以割并成兩個整邊正方形.
【答案】見解析
【解析】
設(shè)長方體棱長為
.依題意有
.
問題轉(zhuǎn)化為證明方程有無窮多組正整數(shù)解(
),且三數(shù)中,
任意兩數(shù)之積皆可表示為兩個正整數(shù)的平方和.
首先,定義數(shù)列
:
.
引理 (1)
,特別地
;
(2)
,特別地
;
(3)
.
引理的證明:(1)令
.則
.
因為
,
所以,
,即
.
(2)對
歸納:
顯然成立.
設(shè)
時,
.當
時,
,
即對成立.
所以,
.
取
為特例.
(3)當
時,
成立,
設(shè)時,
.
當時,因
是方程
的根,另一個根為
.
所以,
.
故
.
回到原題.由引理(3)知,
是的解,
且由引理(2)、(1)得
,
,
.
所以,原方程有無窮多組正整數(shù)解(),使得三數(shù)中,
任意兩數(shù)之積皆可表示為兩個正整數(shù)的平方和.
因此,原題結(jié)論成立.
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知數(shù)列
滿足
（
），
（
），則下列說法中錯誤的是（ ）
A.若
，則數(shù)列為遞增數(shù)列
B.若數(shù)列為遞增數(shù)列，則
C.存在實數(shù)
，使數(shù)列為常數(shù)數(shù)列
D.存在實數(shù)，使
恒成立
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】設(shè)
，且
。若
是一個
位數(shù)，
是一個
位數(shù)（
，
），且、的各位數(shù)字的集合的并恰好是
，則乘積
的最大值為________。
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【題目】2018年，國際權(quán)威機構(gòu)IDC發(fā)布的全球手機銷售報告顯示：華為突破2億臺出貨量超越蘋果的出貨量，首次成為全球第二，華為無愧于中國最強的高科技企業(yè)。華為業(yè)務(wù)CEO余承東明確表示，華為的目標，就是在2021年前，成為全球最大的手機廠商．為了解華為手機和蘋果手機使用的情況是否和消費者的性別有關(guān)，對100名華為手機使用者和蘋果手機使用者進行統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如下表：
根據(jù)表格判斷是否有95%的把握認為使用哪種品牌手機與性別有關(guān)系，則下列結(jié)論正確的是( )
附：
A. 沒有95%把握認為使用哪款手機與性別有關(guān)
B. 有95%把握認為使用哪款手機與性別有關(guān)
C. 有95%把握認為使用哪款手機與性別無關(guān)
D. 以上都不對
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【題目】已知橢圓
： 
的離心率為
，圓
： 
與
軸交于點
、
， 
為橢圓
上的動點， 
， 
面積最大值為
．
（1）求圓
與橢圓
的方程；
（2）圓
的切線
交橢圓于點
、
，求
的取值范圍．
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【題目】設(shè)函數(shù)
=[
]
．
（Ⅰ）若曲線y= f（x）在點（1，
）處的切線與
軸平行，求a；
（Ⅱ）若在x=2處取得極小值，求a的取值范圍．
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【題目】基于移動互聯(lián)技術(shù)的共享單車被稱為“新四大發(fā)明”之一，短時間內(nèi)就風靡全國，帶給人們新的出行體驗
某共享單車運營公司的市場研究人員為了解公司的經(jīng)營狀況，對該公司最近六個月內(nèi)的市場占有率進行了統(tǒng)計，結(jié)果如下表：
月份 |
|
|
|
|
|
|
月份代碼x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
市場占有率 | 11 | 13 | 16 | 15 | 20 | 21 |
請在給出的坐標紙中作出散點圖，并用相關(guān)系數(shù)說明可用線性回歸模型擬合月度市場占有率y與月份代碼x之間的關(guān)系；
求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測該公司2018年2月份的市場占有率；
根據(jù)調(diào)研數(shù)據(jù)，公司決定再采購一批單車擴大市場，現(xiàn)有采購成本分別為1000元
輛和800元
輛的A，B兩款車型報廢年限各不相同考慮到公司的經(jīng)濟效益，該公司決定先對兩款單車各100輛進行科學模擬測試，得到兩款單車使用壽命頻數(shù)表如下：
報廢年限 車型 | 1年 | 2年 | 3年 | 4年 | 總計 |
A | 10 | 30 | 40 | 20 | 100 |
B | 15 | 40 | 35 | 10 | 100 |
經(jīng)測算，平均每輛單車每年可以為公司帶來收入500元不考慮除采購成本之外的其他成本，假設(shè)每輛單車的使用壽命都是整數(shù)年，且用頻率估計每輛單車使用壽命的概率，以每輛單車產(chǎn)生利潤的期望值為決策依據(jù)如果你是該公司的負責人，你會選擇采購哪款車型？
參考數(shù)據(jù)：
，
，
．
參考公式：相關(guān)系數(shù)
，
回歸直線方程為
其中：
，
．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】設(shè)常數(shù)
，函數(shù)
.
（1）令
時，求
的最小值，并比較的最小值與零的大小；
（2）求證：
在
上是增函數(shù)；
（3）求證：當
時，恒有
.
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【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，G是線段AD延長線一點，
，
平面ABCD，
，
，F是線段PG的中點；
求證：
平面PAC；
若
時，求平面PCF與平面PAG所成二面角的余弦值．
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