Question

已知數列{a_n}，首項a₁=a，且滿足S_n+1+S_n=3（n+1）²，求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：由題意得S_n+1-t（n+1）²+b（n+1）+c=-[S_n-（tn²+bn+c）]，從而S_n+1+S_n=2tn²+2（t+b）n+t+b+2c，再由S_n+1+S_n=3（n+1）²=3n²+6n+3，得到{Sn-

3

2

n2-

3

2

n}是以S₁=a-3為首項，以-1為公比的等比數列，由此能求出S_n=

3

2

(n2+n)-(a-3)×(-1)n+1．從而能求出數列{a_n}的通項公式．

解答： 解：由題意得S_n+1-t（n+1）²+b（n+1）+c=-[S_n-（tn²+bn+c）]，
∴S_n+1+S_n=2tn²+2（t+b）n+t+b+2c，
∵a₁=a，且滿足S_n+1+S_n=3（n+1）²，
∴S_n+1+S_n=3n²+6n+3，
∴

2t=3 2(t+b)=6 t+b+2c=3

，解得t=b=

3

2

，c=0，
∴{}{Sn-

3

2

n2-

3

2

n}是以S₁=a-3為首項，以-1為公比的等比數列，
∴S_n-

3

2

n2-

3

2

n=（a-3）×（-1）^n-1，
∴S_n=

3

2

(n2+n)-(a-3)×(-1)n+1．
當n≥2時，
a_n=S_n-S_n-1=[

3

2

(n2+n)-(a-3)×(-1)n+1]-{

3

2

[(n-1)2+(n-1)-(a-3)×(-1)n]}
=

7

2

n-2(a-3)×(-1)n+1-

1

2

，
n=1時，上式不成立，
∴a_n=

a，n=1 7 2 n-2(a-3)×(-1)n+1- 1 2 ，n≥2

．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要關鍵是推導出S_n=

3

2

(n2+n)-(a-3)×(-1)n+1．