Question

已知二次項系數為正的二次函數f（x）對任意x∈R，都有f（1-x）=f（1+x）成立，設向量

a

=（sinx，2），

b

=（2sinx，

1

2

），

c

=（cos2x，1），

d

=（1，2），當x∈[0，π]時，求不等式f(

a

•

b

)＞f(

c

•

d

)的解集．

Answer 1

考點：二次函數的性質,平面向量數量積的運算

專題：函數的性質及應用

分析：由題意可得二次函數f（x）的圖象的對稱軸方程為x=1，f（x）在[1，+∞）上是增函數，不等式等價于cos2x＜0，再由2kπ+

π

2

＜2x＜2kπ+

3π

2

，k∈z，以及0≤x≤π，求得x的范圍．

解答： 解：由f（1-x）=f（1+x）成立，可得二次函數f（x）的圖象的對稱軸方程為x=1．
∵

a

•

b

=2sin²x+1≥1，

c

•

d

=cos2x+2≥1，
由二次項系數為正，可得f（x）在[1，+∞）上是增函數，
不等式f(

a

•

b

)＞f(

c

•

d

) 等價于 f（2sin²x+1）＞f（cos2x+1），等價于2sin²x+1＞cos2x+2，化為cos2x＜0，
2kπ+

π

2

＜2x＜2kπ+

3π

2

，k∈z．
∵0≤x≤π，∴

π

4

＜x＜

3π

4

．
故不等式的解集是[

π

4

，

3π

4

]

點評：本題考查了二次函數的對稱性、單調性、余弦函數的單調性、數量積運算，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬中檔題．