Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），在以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為．

（1）若直線與曲線至多只有一個公共點，求實數的取值范圍；

（2）若直線與曲線相交于，兩點，且，的中點為，求點的軌跡方程．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）

【解析】

（1）利用參數方程、極坐標方程與直角坐標方程的互化公式把曲線和直線的方程化為直角坐標方程，并聯立直線和曲線的直角坐標方程，得到關于的一元二次方程，利用判別式即可求出實數的取值范圍；

根據題意，設，，的中點為，直線和曲線的直角坐標方程聯立，得到關于的一元二次方程，由兩個交點，可得判別式，求出取值范圍，利用韋達定理和點在直線上表示出點坐標，消去參數即可求出，的中點的軌跡方程.

（1）因為曲線的參數方程為（為參數），

消去參數可得，曲線的直角坐標方程為，

由題意知，直線的極坐標方程可化為，

因為，所以直線的直角坐標方程為，

聯立方程，可得，

因為直線與曲線至多只有一個公共點，

所以判別式，解得或，

所以所求實數的取值范圍為或.

（2）設，，的中點為，

聯立方程，可得，

所以判別式，解得，

由韋達定理可得，，

因為點在直線上，所以，

所以可得，即為點的軌跡方程.