Question

【題目】已知橢圓的離心率為，、分別為左、右頂點，為其右焦點，是橢圓上異于、的動點，且的最小值為-2．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若過左焦點的直線交橢圓于兩點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由橢圓的離心率得到的關系，再由的最小值為求得的值，則可求，橢圓方程可求；（2）由（1）知，則斜率不存在時，用坐標分別表示出，直接求得；直線斜率存在時，設直線的方程為，代入橢圓方程，消去得，利用根與系數的關系求得的橫坐標的積，把轉化為的橫坐標的和與積的形式，代入后化為關于的函數式得答案．

試題解析：（1）根據題意知，即，

∴，則，

設，

∵，

，

∵，∴當時，，

∴，則．

∴橢圓的方程為．

（2）由，，得，

∴，，

則直線斜率不存在時，

，，于是，．

直線斜率存在時，設直線的方程為，代入橢圓方程，消去得

，

設，，則，，

∵，，

∴

．

∵，∴．

∴．

綜上知，．