Question

【題目】已知函數，且．

（1）若函數在區間上是減函數，求實數的取值范圍；

（2）設函數，當時， 恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）因為函數在區間上是減函數，則恒成立，轉化為二次函數恒成立問題，得解；（2）令， 恒成立等價于恒成立，利用導數討論的單調性求最值.

試題解析：（1）因為函數在區間上是減函數，則，

即在上恒成立

當時，令得，

①若，則，解得；②若，則，解得．

綜上，實數的取值范圍是．

（2）令，則，

根據題意，當時， 恒成立．

所以．

①當時， 時， 恒成立，

所以在上是增函數，且，所以不符合題意

②當時， 時， 恒成立．

所以在上是增函數，且，所以不符題意．

③當時， 時，恒有，故在上是減函數，

于是“對任意都成立”的充要條件是，

即，解得，故

綜上， 的取值范圍是．