Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線C：（）的焦點F在直線上，平行于x軸的兩條直線，分別交拋物線C于A，B兩點，交該拋物線的準線于D，E兩點.

（1）求拋物線C的方程；

（2）若F在線段上，P是的中點，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）根據拋物線的焦點在直線上，可求得的值，從而求得拋物線的方程；

（2）法一：設直線，的方程分別為和且，，，可得，，，的坐標，進而可得直線的方程，根據在直線上，可得，再分別求得，，即可得證；法二：設，，則，根據直線的斜率不為0，設出直線的方程為，聯立直線和拋物線的方程，結合韋達定理，分別求出，，化簡，即可得證.

（1）拋物線C的焦點坐標為，且該點在直線上，

所以，解得，故所求拋物線C的方程為

（2）法一：由點F在線段上，可設直線，的方程分別為和且，，，則，，，.

∴直線的方程為，即.

又點在線段上，∴.

∵P是的中點，∴

∴，.

由于，不重合，所以

法二：設，，則

當直線的斜率為0時，不符合題意，故可設直線的方程為

聯立直線和拋物線的方程，得

又，為該方程兩根，所以，，，.

，

由于，不重合，所以