Question

如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F為線段DE的中點．
（1）求證：BE∥平面ACF；
（2）求證：CD⊥DE；
（3）求直線AC與平面ADE所成角的正切值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,空間中直線與直線之間的位置關系,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）連接AC，BD交于O，連OF，由已知OF∥BE，由此能證明BE∥平面ACF．
（2）由已知得CD⊥AD，CD⊥AE，從而CD⊥平面ADE，由此能證明CD⊥DE．
（3）由CD⊥平面ADE，得∠CAD是直線AC與平面ADE所成角，由此能求出直線AC與平面ADE所成角的正切值．

解答： （1）證明：連接AC，BD交于O，連OF
∵F為DE中點，O為BD中點，
∴OF∥BE，OF?平面ACF，BE?平面ACF，
∴BE∥平面ACF．
（2）證明：∵底面ABCD為正方形，AE⊥平面CDE，
∴CD⊥AD，CD⊥AE，
∵AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE，
∵DE?平面ADE，∴CD⊥DE．
（3）解：∵CD⊥平面ADE，
∴∠CAD是直線AC與平面ADE所成角，
∵底面ABCD為正方形，
∴∠CAD=45°，∴tan∠CAD=tan45°=1，
∴直線AC與平面ADE所成角的正切值是1．

點評：本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查線面角的正切值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．