Question

已知橢圓的左焦點為,左、右頂點分別為,過點且傾斜角為的直線交橢圓于兩點,橢圓的離心率為,．
（1）求橢圓的方程；
（2）若是橢圓上不同兩點，軸，圓過點，且橢圓上任意一點都不在圓內，則稱圓為該橢圓的內切圓．問橢圓是否存在過點的內切圓？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）存在

試題分析：（1）由離心率為，傾斜角為的直線交橢圓于兩點，.通過聯立直線方程與橢圓的方程，可求得的值.即可得結論.
（2）依題意可得符合要求的圓E，即為過點, 的三角形的外接圓.所以圓心在x軸上.根據題意寫出圓E的方程.由于圓的存在必須要符合，橢圓上的點到點距離的最小值是，結合圖形可得圓心E在線段上，半徑最小.又由于點F已知，即可求得結論.
試題解析：（1）因為離心率為，所以，
所以橢圓方程可化為：，直線的方程為，      2分
由方程組，得：,即, 4分
設，則，               5分
又，
所以，所以，橢圓方程是；      7分
（2）由橢圓的對稱性，可以設，點在軸上，設點，
則圓的方程為，
由內切圓定義知道，橢圓上的點到點距離的最小值是，
設點是橢圓上任意一點，則, 9分
當時，最小，所以①              10分
又圓過點，所以②              11分
點在橢圓上，所以③                     12分
由①②③解得：或，
又時，，不合，
綜上：橢圓存在符合條件的內切圓，點的坐標是．        13分