Question

過拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點F的直線l交E于A、B兩點，由點A、B作拋物線準線m的垂線，垂足分別為點D、C，向四邊形ABCD內部隨機投一點，則該點落在△CFD內部的概率的最大值為

 

．

Answer 1

考點：幾何概型,拋物線的簡單性質

專題：概率與統計

分析：由題意，設出直線方程，利用直線與拋物線方程得到A，B兩點間的坐標關系，然后利用根與系數的關系求出梯形ABCD，△CDF的面積，然后利用幾何概型法概率公式解之．

解答： 解：設直線AB：x=my+

p

2

，代入拋物線方程，消元可得y²-2pmy-p²=0
設A（x₁，y₁） B（x₂，y₂），則y₁y₂=-p²，y₁+y₂=2pm，x1+x2=2pm2+p，
S_△CDF=

p

2

|y₁-y₂|，
梯形ABCD的面積為

1

2

(AD+BC)CD=

1

2

(x1+x2+p)(y1-y₂），
由幾何概型的概率公式得
點落在△CFD內部的概率為

S△CDF

S梯形ABCD

=

p 2 |y1-y2|

1 2 (x1+x2+p)|y1-y2|

=

1

2m2+2

，
點落在△CFD內部的概率為的最大值為

1

2

；
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查了幾何概型與拋物線相結合的問題；關鍵是利用直線與拋物線的關系得到梯形ABCD以及△CDF的面積．