Question

已知實數a滿足有且僅有一個正方形，其四個頂點均在曲線y=x³+ax上，求該正方形的邊長．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：三角函數的求值

分析：分別設出A，B，C，D的坐標，令x₀=rcosθ，y₀=rsinθ，r＞0，θ∈（0，

π

2

），得到方程（1+a²）（sin²2θ）²-（4+a²）sin²2θ+4=0，根據△=0，解出即可．

解答： 解：設正方形的四個頂點為 A、B、C、D，那么ABCD的中心為原點O．
否則，由于y=x³+ax為奇函數，因此A、B、C、D關于O點的對稱點A′、B′、C′、D′也在曲線上，
且A′B′C′D′也是正方形，與題設矛盾．設四點為A（x₀，y₀），B（-y₀，x₀），C（-x₀，-y₀），D（y₀，-x₀），其中x₀＞0，y₀＞0，
則y₀=x03+ax₀，①，-x₀=y03+ay₀，②，
①×x₀+②×y₀，得：x04+y04+a（x02+y02）=0，③
①×y₀-②×x₀，得：x02+y02=x₀y₀（x02-y02），④
令x₀=rcosθ，y₀=rsinθ，r＞0，θ∈（0，

π

2

），
由③④得：a=-r²（1-2sin²θcos²θ）
消去r²，得關于sin2θ的方程：
（1+a²）（sin²2θ）²-（4+a²）sin²2θ+4=0
因sin²2θ在（0，1）內只有一個根，
∴△=（a²+4）²-16（1+a²）=a⁴-8a²=0，
∴a=-2

2

，（由③知a＜0），sin2θ=

6

2

，sin4θ=

2 2

3

，r=

18

，
∴正方形的邊長為：

2r

=

4	72

．

點評：本題考查了三角函數問題，考查了二次函數的性質，考查轉化思想，是一道中檔題．