Question

【題目】已知點是拋物線：的焦點，直線與拋物線相切于點，連接交拋物線于另一點，過點作的垂線交拋物線于另一點.

（1）若，求直線的方程；

（2）求三角形面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1），（2）16

【解析】

(1)求得,再設直線的方程,聯立拋物線方程令二次方程求解即可.

(2)設切線的方程為,,,根據,,三點共線求得,再化簡求得到直線的距離,進而表達出三角形面積,再利用基本不等式的方法求最小值即可.

（1）由得,

設直線的方程為,

由得,

因為直線與拋物線相切,故,解得.

故所求直線的方程,即.

（2）設切線的方程為,,,

又由,,三點共線,故,,,

化簡可得,,

,

由得,

因為直線與拋物線相切,故,即,

故直線的方程為,,

因此點到直線的距離為

,

由得,,,

故,

所以

等號成立當且僅當,即時等號成立.

此時三角形面積的最小值為16.