Question

如圖1，在四棱錐中，底面，面為正方形，為側棱上一點，為上一點．該四棱錐的正（主）視圖和側（左）視圖如圖2所示．

（Ⅰ）求四面體的體積；
（Ⅱ）證明：∥平面；
（Ⅲ）證明：平面平面．

Answer 1

（Ｉ）；（ＩＩ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析．

試題分析：（I）根據三視圖等條件，求出棱錐底面積和高，可求體積；（II）在面PFC內找一直線平行AE即可證明∥平面；（III）證平面平面只需證明平面過平面的一條垂線即可.
試題解析：（Ⅰ）解：由左視圖可得 為的中點，
所以 △的面積為 ．      1分
因為平面，                   2分
所以四面體的體積為
                      3分
．                     4分
（Ⅱ）證明：取中點，連結，．                                  5分

由正（主）視圖可得 為的中點，所以∥，．      6分
又因為∥，， 所以∥，．
所以四邊形為平行四邊形，所以∥．                       8分
因為 平面，平面，
所以 直線∥平面．                                            9分
（Ⅲ）證明：因為 平面，所以 ．
因為面為正方形，所以 ．
所以 平面．                                               11分
因為 平面，所以 ．      
因為 ，為中點，所以 ．
所以 平面．                                              12分
因為 ∥，所以平面．                               13分
因為 平面， 所以 平面平面.                   14分