Question

【題目】如圖，已知橢圓M：經過圓N：與x軸的兩個交點和與y軸正半軸的交點.

（1）求橢圓M的方程；

（2）若點P為橢圓M上的動點，點Q為圓N上的動點，求線段PQ長的最大值；

（3）若不平行于坐標軸的直線交橢圓M于A、B兩點，交圓N于C、D兩點，且滿足求證:線段AB的中點E在定直線上.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據圓的方程求出圓與坐標軸的交點坐標，再根據題意，即可求出橢圓方程；

（2）先由橢圓方程，設，根據兩點間距離公式，先求出點到圓圓心的距離，根據圓的特征，得到（其中為圓的半徑），即可求出結果；

（3）先設，，直線的方程為，聯立直線與橢圓方程，結合韋達定理得到其中點坐標為；再由題意，得到，推出，求出與的關系式，進而可求出結果.

（1）因為圓：，令，則或，所以圓與軸正半軸的交點為；

令，則，即圓與軸的兩個交點為，

因為橢圓經過圓與軸的兩個交點和與軸正半軸的交點，所以，

即橢圓的方程為：；

（2）由（1）可設，

則點到圓的圓心的距離為：

，

當且僅當時，等號成立；

又點為圓上的動點，由圓的性質可得：

（其中為圓的半徑）；

（3）設，，直線的方程為，

由消去得，

整理得：，

所以，所以，

所以中點的坐標為：；

因為直線交圓于點，，且，

因此也是的中點；

根據圓的性質可得：，

所以，即，整理得，

所以，因此點在定直線上.