Question

已知在空間四邊形ABCD中，AC=AD，BC=BD，且E，F分別是CD，AD的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面ABC；
（Ⅱ）求證：CD⊥AB．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）因為E，F分別是CD，AD的中點，利用中位線的性質得到EF∥AC，由線面平行的判定定理可證；
（Ⅱ）連結AE，BE，只要證明CD⊥平面ABE，再由線面垂直的性質可證．

解答： （Ⅰ）證明：因為E，F分別是CD，AD的中點，
所以，EF為△ACD的中位線，所以EF∥AC．…（2分）
又因為AC?平面ABC，EF?平面ABC，
所以，EF∥平面ABC．…（4分）
（Ⅱ）證明：連結AE，BE，
在△ACD中，因為AC=AD，E是CD中點，所以AE⊥CD．…（6分）
同理可證，BE⊥CD．…（7分）
又因為，AE∩BE=E，AE?平面ABE，BE?平面ABE，
所以，CD⊥平面ABE．…（9分）
又因為，AB?平面ABE，
所以CD⊥AB．…（10分）

點評：本題考查了線面平行的判定和線面垂直的性質定理和判定定理的運用，關鍵是熟練掌握相關的定理，正確運用．