Question

【題目】已知函數.

(1)求函數的單調區間；

(2)若關于的不等式恒成立，求整數的最小值.

Answer 1

【答案】(1) 當時， 的單調遞增區間為，無減區間，

當時， 的單調遞增區間為，單調遞減區間為;(2)2.

【解析】試題分析：

(1)首先對函數求導，然后對參數分類討論可得當時， 的單調遞增區間為，無減區間，

當時， 的單調遞增區間為，單調遞減區間為;

(2)將原問題轉化為在上恒成立，考查函數的性質可得整數的最小值是2.

試題解析：

(1) ，函數的定義域為.

當時， ，則在上單調遞增，

當時，令，則或 (舍負)，

當時， ， 為增函數，

當時， ， 為減函數，

∴當時， 的單調遞增區間為，無減區間，

當時， 的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

(2)解法一：由得，

∵，

∴原命題等價于在上恒成立，

令，

則，

令，則在上單調遞增，

由， ，

∴存在唯一，使， .

∴當時， ， 為增函數，

當時， ， 為減函數，

∴時， ，

∴，

又，則，

由，所以.

故整數的最小值為2.

解法二： 得，

，

令，

，

①時， ， 在上單調遞減，

∵，∴該情況不成立.

②時，

當時， ， 單調遞減；

當時， ， 單調遞增，

∴，

恒成立，

即.

令，顯然為單調遞減函數.

由，且， ，

∴當時，恒有成立，

故整數的最小值為2.

綜合①②可得，整數的最小值為2.