Question

【題目】已知函數 (是自然對數的底數)， .

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）求的單調區間；

（3）設，其中為的導函數，證明：對任意.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）單調遞增區間為；單調遞減區間為. （Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（1）求出的導數，可得切線的斜率和切點，即可得到所求切線的方程；
（2）求導數，利用導數的正負，求的單調區間；
（3）， ．由，確定當時， ．當時， ，即可證明結論．

試題解析：

（Ⅰ）的定義域為,

由，得，∴點A的坐標為.

，所以，

所以曲線在點A處的切線方程為

（Ⅱ），所以

令得，因此當時， 單調遞增；

當時， 單調遞減.

所以的單調遞增區間為；單調遞減區間為.

（Ⅲ）證明：因為，所以， 等價于在時恒成立,

由（Ⅱ）知,當時， 的最大值，

故，

因為時，

所以，

因此任意， .