Question

已知函數f(x)=

-x2+2ax， x≤1 ax+1，  x＞1

，若?x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，則實數a的取值范圍是

（-∞，1）∪（2，+∞）

．

Answer 1

分析：由題意可得，若?x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，則說明f（x）在R上不單調，分a=0及a≠0兩種情況分布求解即可求得結論．

解答：解：若?x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，則說明f（x）在R上不單調．
①當a=0時，f（x）=

-x2，x≤1 1，x＞1

滿足題意
其其圖象如圖所示，滿足題意

②當a＜0時，函數y=-x²+2ax的對稱軸x=a＜0，其圖象如圖所示，滿足題意

③當a＞0時，函數y=-x²+ax的對稱軸x=a＞0，其圖象如圖所示，要使得f（x）在R上不單調

則只要二次函數的對稱軸x=a＜1，或

a≥1 -12+2a×1＞a×1+1

∴0＜a＜1或a＞2，
綜合得：a的取值范圍是（-∞，1）∪（2，+∞）．
故答案為：（-∞，1）∪（2，+∞）．

點評：本題考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．