Question

建筑一個容積為8000 m³、深6 m的長方體蓄水池（無蓋），池壁造價為a元/米²，池底造價為2a元/米²，把總造價y元表示為底的一邊長x m的函數，其解析式為

 

，定義域為

 

．底邊長為

 

m時總造價最低是

 

元．

Answer 1

分析：設池底一邊長x（m），其鄰邊長為

8000

6x

（m），由面積公式算出池底的面積，由題意建立蓄水池的總造價y（元）與池底一邊長x（m）之間的函數關系，因在函數關系式中出現了積為定值的形式，故可以用基本不等式求最值．

解答：解：設池底一邊長x（m），則其鄰邊長為

8000

6x

（m），池壁面積為2•6•x+2•6•

8000

6x

=12（x+

8000

6x

）（m²），池底面積為x•

8000

6x

=

8000

6

（m²），根據題意可知蓄水池的總造價y（元）與池底一邊長x（m）之間的函數關系式為
y=12a（x+

8000

6x

）+

8000

3

a．定義域為（0，+∞）．
x+

8000

6x

≥2

x• 8000 6x

=

40

3

30

（當且僅當x=

8000

6x

即x=

20

3

30

時取“=”）．
∴當底邊長為

20

3

30

m時造價最低，最低造價為（160

30

a+

8000

3

a）元．
故應填：y=12a（x+

8000

6x

）+

8000

3

a，（0，+∞），

20

3

30

，160

30

a+

8000

3

a．

點評：本題考點是基本不等式求最值，其特點是先根據題設中的條件建立起函數關系，再觀察函數的形式得出求造價最低的方法．