Question

（本題滿分分）已知，函數.（的圖像連續不斷）

（1）求的單調區間；

（2）當時，證明：存在，使；

（3）若存在均屬于區間的，且，使，證明

 

Answer 1

（1）的單調遞增區間是，單調遞減區間是；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）求的單調區間，由于函數含有對數函數，因此求的單調區間，可用導數法，因此對函數求導得，，令，解得，列表確定單調區間；（2）當時，證明：存在，使，可轉化為在上有解，可令，有根的存在性定理可知，只要在找到兩個，是得即可，故本題把代入得，由（1）知在內單調遞增，在內單調遞減，，故，取，則，即可證出；（3）若存在均屬于區間的，且，使，由（1）知的單調遞增區間是，單調遞減區間是，故，且在上的最小值為，而，，只有，由單調性可知，，從而可證得結論.

試題解析：（1） （1分）

令，解得 （2分）

當變化時，的變化情況如下表：

	＋	0	－
	遞增	極大值	遞減

 

所以，的單調遞增區間是，單調遞減區間是 （5分）

（2）證明：當時，，

由（1）知在內單調遞增，在內單調遞減．

令． （6分）

由于在內單調遞增，故，即 （7分）

取，則.

所以存在，使，

即存在，使． （9分）

（說明：的取法不唯一，只要滿足，且即可．）

（3）證明：由及（1）的結論知，

從而在上的最小值為， （10分）

又由，，知 （11分）

故即 （13分）

從而 （14分）

考點：函數單調性，根的存在性定理.