Question

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)試探究函數(shù)在定義域內(nèi)是否存在零點(diǎn)，若存在，請指出有幾個(gè)零點(diǎn)；若不存在，請說明理由；

(Ⅲ)若,且在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.（2）見解析（3）

【解析】試題分析：(Ⅰ) 求出，分兩種種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；(Ⅱ)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)；(Ⅲ)分兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，不合題意，當(dāng)時(shí)，由(Ⅰ)知，函數(shù)在單調(diào)遞增，則在恒成立，

，從而可得結(jié)果.

試題解析：(Ⅰ)由所以,

①當(dāng)時(shí)，則有,函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)， ,

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為,

綜合①②的當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.

(Ⅱ)函數(shù)定義域?yàn)?/span>，

又,

令,

則,

所以,

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以.

由(Ⅰ)知當(dāng)時(shí)，對,有,

即,

所以當(dāng)且趨向0時(shí)， 趨向，隨著的增長， 的增長速度越來越快，會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于的增長速度，而的增長速度則會越來越慢，故當(dāng)且趨向時(shí)， 趨向，得到函數(shù)的草圖如圖所示，

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn).

(Ⅲ)由(Ⅱ)知當(dāng)時(shí)， ,故對,

先分析法證明： ,

要證，

只需證,

即證,

構(gòu)造函數(shù)),

所以,

故函數(shù)在單調(diào)遞增， ,

則成立，

①當(dāng)時(shí)，由(Ⅰ)知，函數(shù)在單調(diào)遞增，則在恒成立，

②當(dāng)時(shí)，由(Ⅰ)知，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

故當(dāng)時(shí)， ,所以,則不滿足題意，

綜合①②得，滿足題意的實(shí)數(shù)的取值范圍.