Question

【題目】拋物線y2=2px(p>0)與直線y=x+1相切,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)是拋物線上兩個動點,F為拋物線的焦點,且|AF|+|BF|=8.

(1)求p的值.

(2)線段AB的垂直平分線l與x軸的交點是否為定點?若是,求出交點坐標;若不是,說明理由.

(3)求直線l的斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）

【解析】

(1)聯立切線方程與拋物線方程，根據相切時判別式為0即可求得p的值。

(2)根據|AF|+|BF|=8，結合拋物線定義可轉化為與A、B橫坐標相關的等式，從而求得x1+x2=6.設C點坐標(m,0)，因為C在AB的垂直平分線上，所以|AC|=|BC|。然后根據兩點間距離公式，代入兩個橫坐標的和即可求得m的值，進而確定過定點。

(3)設AB的中點為M(x0,y0),表示出直線l方程y=k1(x-5)。將AB中點坐標代入方程后得到M的坐標與直線斜率k之間的關系。根據中點M的在拋物線內可得不等式，進而求得k的范圍。

(1)因為拋物線y2=2px(p>0)與直線y=x+1相切,所以由得y2-2py+2p=0(p>0)有兩個相等實根,所以Δ=4p2-8p=4p(p-2)=0,解得p=2.

(2)拋物線y2=4x的準線x=1.且|AF|+|BF|=8,

所以由定義得x1+x2+2=8,則x1+x2=6.

設直線AB的垂直平分線l與x軸的交點C(m,0).

由C在AB的垂直平分線上,從而|AC|=|BC|,

即(x1-m)2+=(x2-m)2+,

所以(x1-m)2-(x2-m)2=,

即(x1+x2-2m)(x1-x2)=4x2-4x1=-4(x1-x2).

因為x1≠x2,所以x1+x2-2m=-4.

又因為x1+x2=6,所以m=5.

所以點C的坐標為(5,0).

即直線AB的垂直平分線l與x軸的交點為定點(5,0).

(3)設直線l的斜率為k1,由(2)可設直線l方程為y=k1(x-5).

設AB的中點M(x0,y0),由x0==3,可得M(3,y0).

因為直線l過點M(3,y0),所以y0=-2k1.

又因為點M(3,y0)在拋物線y2=4x的內部,

所以<12.即4<12,則<3.

因為x1≠x2,則k1≠0.

所以k1的取值范圍為(-,0)∪(0,).