Question

已知A（1，0），B（-2，0），動點M滿足∠MBA=2∠MAB（∠MAB≠0）．
（1）求動點M的軌跡E的方程；
（2）若直線l：，且軌跡E上存在不同兩點C、D關于直線l對稱．
①求實數b的取值范圍；
②是否可能有A、B、C、D四點共圓？若可能，求實數b的值；若不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）如何體現動點M滿足的條件∠MBA=2∠MAB是解決本題的關鍵．用動點M的坐標體現∠MBA=2∠MAB的最佳載體是直線MA、MB的斜率．
（2）先設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中點（x，y）（x₁，x₂，x＜-1）．由點差法有y=-x．又；所以，．又直線CD的方程為．將直線的方程代入（1）的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用到角公式即可求得b值，從而解決問題．
解答：解：（1）設動點M的坐標為（x，y），則，．
由∠MBA=2∠MAB（∠MAB≠0），得，
化簡得3x²-y²=3（當時也滿足）．
顯然，動點M在線段AB的中垂線的左側，且∠MAB≠0，
故軌跡E的方程為 3x²-y²=3（x＜-1）．
（2）設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中點（x，y）（x₁，x₂，x＜-1）．
由點差法有 ，即y=-x．
又；所以，．
①由3及得，．
②直線CD的方程為，即．
上式代入3x²-y²=3得，8x²+12bx+3b²+4=0，
所以△=16（3b²-8），，，．
若A、B、C、D四點共圓，則∠CAD=60°，由到角公式可得 
即 ，即 ；解得．
故可能有A、B、C、D四點共圓，此時．
點評：求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數法，本題主要用直接法，直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程．