Question

【題目】已知圓O1：（x﹣2）2+y2=16和圓O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），動圓M與圓O1、圓O2都相切，切圓圓心M的軌跡為兩個橢圓，這兩個橢圓的離心率分別為e1 ， e2（e1＞e2），則e1+2e2的最小值是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：①當動圓M與圓O1、O2都相內切時，
|MO2|+|MO1|=4﹣r=2a，
∴e1= ．
②當動圓M與圓O1相內切而與O2相外切時，
|MO1|+|MO2|=4+r=2a′，
∴e2= ，
∴e1+2e2= + = ，
令12﹣r=t（10＜t＜12），e1+2e2=2× ≥2×
= = ．
故答案為： ．
討論：①當動圓M與圓O1、O2都相內切時，②當動圓M與圓O1相內切而與O2相外切時，分別求出e1、e2（e1＞e2），利用基本不等式求出e1+2e2的最小值．