Question

【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家，城市缺水問題較為突出．某市政府為了鼓勵居民節約用水，計劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個合理的居民月用水量標準x（噸），用水量不超過 x 的部分按平價收費，超出 x 的部分按議價收費．為了了解全市居民用水量的分布情況，通過抽樣，獲得了 100 位居民某年的月均用水量（單位：噸），將數據按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．

（Ⅰ）求直方圖中 a 的值；
（Ⅱ）若該市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超過標準 x（噸），估計 x 的值，并說明理由；
（Ⅲ）已知平價收費標準為 4 元/噸，議價收費標準為 8元/噸．當 x=3時，估計該市居民的月平均水費．（同一組中的數據用該組區間的中點值代替）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖，
得：（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5=1，
解得：a=0.30；
（Ⅱ）∵前6組的頻率之和是（0.08+0.16+0.30+0.40+0.52+0.30）×0.5=0.88＞0.85，
而前5組的頻率之和為（0.08+0.16+0.30+0.40+0.52）×0.5=0.73＜0.85，
∴2.5≤x＜3，
由0.3×（x﹣2.5）=0.85﹣0.73，解得：x=2.9，
因此，估計月用水量標準為2.9噸時，
85%的居民每月的用水量不超過標準；
（Ⅲ）設居民月用水量為t噸，相應的水費為y元，
則y= ，即y= ，
由題設條件及月均用水量的頻率分布直方圖，
得居民每月的水費數據分組與頻率分布表如下：

組號	1	2	3	4	5	6	7	8	9
分組	[0，2）	[2，4）	[4，6）	[6，8）	[8，10）	[10，12）	[12，16）	[16，20）	[20，24）
頻率	0.04	0.08	0.15	0.20	0.26	0.15	0.06	0.04	0.02

根據題意，該市民的月平均水費估計為：
1×0.04+3×0.08+5×0.15+7×0.20+9×0.26+11×0.15+14×0.06+18×0.04+22×0.02=8.42（元）．
【解析】（I）根據頻率和為1，列出方程求出a的值；（II）求出月均用水量小于2.5噸和小于3噸的百分比，計算出有85%的居民每月用水量不超過標準的值；（III）根據頻率分布直方圖，求出當 x=3時，估計該市居民的月平均水費．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用頻率分布直方圖的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息．