Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b=3．已知向量

m

=（cos²

B

2

，sinB），

n

=（

3

，2），且

m

∥

n

．
（1）若A=

5π

12

，求邊c的值；
（2）求AC邊上高h的最大值．

Answer 1

考點：正弦定理,平面向量共線（平行）的坐標表示

專題：解三角形

分析：（1）若A=

5π

12

，根據向量平行的坐標公式，建立方程關系即可求邊c的值；
（2）利用三角形的面積公式結合余弦定理，結合基本不等式的性質即可，求AC邊上高h的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由

m

∥

n

，得2cos²

B

2

=

3

sinB，--------------------------------（2分）
即1+cosB=

3

sinB，得sin（B-

π

6

）=

1

2

，-----------------------------------------------（4分）
又0＜B＜π，
所以-

π

6

＜B-

π

6

＜

5π

6

，
故B-

π

6

=

π

6

，即B=

π

3

．--------------（6分）
結合A=

5π

12

，得C=

π

4

，
由正弦定理

b

sinB

=

c

sinB

得，c=

6

．----------------------------------------------------（8分）
（Ⅱ） 設AC邊上的高為h，則S△ABC=

1

2

bh=

3

2

h=

1

2

acsinB=

3

4

ac，----------（10分）
即h=

ac

2 3

，b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，-----------------14
（等號成立當且僅當a=c）
所以ac≤9，因此h=

ac

2 3

≤

3 3

2

，
所以AC邊上的高h的最大值為h=

3 3

2

．-----------------------------------------------（15分）

點評：本題主要考查解三角形的應用，根據余弦函數和平面向量的坐標公式是解決本題的關鍵．