Question

【題目】如圖，三棱柱中，，分別為，的中點．

（1）證明：直線平面；

（2），，，，求平面和平面所成的角（銳角）的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）設與交于點，通過證明是平行四邊形證得，得線面平行；

（2）證明兩兩垂直，然后以為軸建立空間直角坐標系，設，寫出各點坐標，求出兩平面的法向量，利用法向量夾角的余弦得二面角的余弦．

證明：（1）設與交于點，連接，，

因為四邊形是平行四邊形，所以是的中點，

是的中點，所以，．

又因為是的中點，所以，．

所以且，所以四邊形是平行四邊形，

所以．又因為平面，平面，

所以直線平面．

（2）因為，所以平行四邊形是菱形，所以．

又因為，所以．

又，且是的中點，所以．又因為，

所以，

所以，故，從而，，兩兩垂直．

以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖空間直角坐標系，

設，因為，，

所以是等邊三角形，所以，，，．

，．

因為，，兩兩垂直，所以平面，

所以是平面的一個法向量；

設是平面的一個法向量，則

，即，令，得，，

所以，所以．

所以平面和平面所成的角（銳角）的余弦值為．