Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線過點(diǎn)，其參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.以為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知曲線與曲線交于兩點(diǎn)，且，求實數(shù)的值.

Answer 1

【答案】(1) ;.(2) 或.

【解析】

（1）曲線參數(shù)方程消去參數(shù)，得到曲線的普通方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，代入即可得出曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)兩點(diǎn)所對應(yīng)參數(shù)分別為，直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，利用韋達(dá)定理和直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，得，根據(jù)，得，分類討論，即可求解.

（1）曲線參數(shù)方程為為參數(shù)，消去參數(shù)，得，

∴曲線的普通方程，

又由曲線的極坐標(biāo)方程為，∴，

根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，代入得，

整理得，即曲線的直角坐標(biāo)方程.

（2）設(shè)兩點(diǎn)所對應(yīng)參數(shù)分別為，，

將代入，得，

要使與有兩個不同的交點(diǎn)，則，即，

由韋達(dá)定理有，根據(jù)參數(shù)的幾何意義可知，，

又由，可得，即或，

∴當(dāng)時，有，符合題意.

當(dāng)時，有，符合題意.

綜上所述，實數(shù)的值為或.