Question

已知A、B、C是直線l上不同的三點，O是l外一點，向量滿足：記y＝f(x)．
（1）求函數y＝f(x)的解析式：
（2）若對任意不等式恒成立，求實數a的取值范圍：
（3）若關于x的方程f(x)＝2x＋b在（0，1]上恰有兩個不同的實根，求實數b的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

試題分析：（1）根據條件中以及A,B,C三點共線可得，從而求得y的解析式；（2）要使在上恒成立，只需，通過求導判斷的單調性即可求得在上的最大值，從而得到a的取值范圍；（3）題中方程等價于，因此要使方程有兩個不同的實根，只需求得在(0,1]上的取值范圍即可，通過求導判斷單調性顯然可以得到在(0,1]上的取值情況.
（1），
又∵A,B,C在同一直線上，∴，則，
∴    4分
（2）∴①    5分
設依題意知在上恒成立，
∴h(x)在上是增函數，要使不等式①成立，當且僅當∴．    8分；
（3）方程即為變形為
令，
∴    10分
列表寫出 x，，在[0，1]上的變化情況：

x	0	(0，)		(，1)	1
		小于0	取極小值	大于0
	ln2	單調遞減		單調遞增

顯然?g(x)在（0，1］上的極小值也即為它的最小值．    12分
現在比較ln2與的大小；

∴要使原方程在（0，1]上恰有兩個不同的實根，必須使
即實數b的取值范圍為    14分.