Question

已知曲線C_n：y=nx²，點P_n（x_n，y_n）（x_n>0，y_n>0）是曲線C_n上的點（n=l，2，…）。
（I）試寫出曲線C_n在點P_n處的切線l_n的方程，并求出l_n與y軸的交點Q_n的坐標；
（Ⅱ）若原點O（0，0）到l_n的距離與線段P_nQ_n的長度之比取得最大值，試求點P_n的坐標（x_n，y_n）； （Ⅲ）設m與k為兩個給定的不同的正整數，x_n與y_n是滿足（Ⅱ）中條件的點P_n的坐標，
證明：（s=1，2，…）。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵（nx²）'=2nx
∴曲線C_n過點P_n（x_n，y_n）的切線l_n的方程為y-nx²=2nx_n（x-x_n）
即2nx_nx-y-nx_n²=0
令x=0，得y=-nx²
∴Q_n的坐標為（0，-nx²）；
（Ⅱ）原點D（0，0）到l_n的距離為



即時，取的最大值
故所求點P_n的坐標為；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，于是




現證明


故問題得證。