Question

已知曲線C_n：y=nx²，點P_n（x_n，y_n）（x_n＞0，y_n＞0）是曲線C_n上的點（n=1，2，…），
（1）試寫出曲線C_n在P_n點處的切線l_n為的方程，并求出l_n與y軸的交點Q_n的坐標；
（2）若原點O（0，0）到l_n的距離與線段P_nQ_n的長度之比取得最大值，試求點的坐標P_n（x_n，y_n）

Answer 1

分析：（1）由題意知y′=2nx，由此可知切線l_n的方程：y-y_n=2nx_n（x-x_n），令n=0得Q_n（0，-nx_n²）．
（2）由題意知

d

|pnQn |

=

nxn

1+4n2xn2

=

1

1 nxn +4nxn

≤

1

4

．由此及彼可推導出p的坐標為(

1

2n

，

1

4n

)．

解答：解：（1）∵y′=2nx，
∴k=2nx_n，切線l_m的方程：y-y_n=2nx_n（x-x_n），
令x=0得y=-2nx_n²+y_n=-nx_n²，即Q_n（0，-nx_n²）．
（2）切線方程可寫成：2nx_nx-y-2nx_n²+y_n=0．
|PnQn|=

xn2+(2nxn2)2

 =xn

1+4n2xn2

，

d

|pnQn |

=

nxn

1+4n2xn2

=

1

1 nxn +4nxn

≤

1

4

．
當且僅當

1

nxn

=4nxn，即xn=

1

2n

時，取等號，此時y_n=nx_n²，點P的坐標為(

1

2n

，

1

4n

)．

點評：本題以數列知識為載體，綜合考查了導數知識和點到直線的距離公式，體現了出題者的智慧．