Question

若函數y＝f(x)在x＝x₀處取得極大值或極小值，則稱x₀為函數y＝f(x)的極值點．已知A，b是實數，1和－1是函數f(x)＝x³＋Ax²＋b x的兩個極值點．
(1)求A和b的值；
(2)設函數g(x)的導函數g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的極值點．

Answer 1

(1) ；(2) 函數g(x)的極值點為．

試題分析：(1)極值點時，函數取得極值，對應的導函數的值為，先對函數求導得，當取時，導函數值為，得到關于的二元一次方程，解得的值；(2)由知，令得或，兩數將定義域分成三個部分，根據極值定義列表判斷，可知當時函數有極小值．
解：(1)因為，
所以f′(x)＝3x²＋2Ax＋b，且f′(－1)＝3－2A＋b＝0，f′(1)＝3＋2A＋b＝0，
解得A＝0，b＝－3．  4分
經檢驗，當A＝0，b＝－3時，1和－1是函數f(x)＝x³＋Ax²＋bx的兩個極值點．
綜上，所求的A和b的值分別為0，－3．  5分
(2)由(1)，知f(x)＝x³－3x，所以g′(x)＝x³－3x＋2＝(x－1)²(x＋2)，
令g′(x)＝0，得x＝1或x＝－2，      7分
當x變化時，g′(x)，g(x)的變化情況如下所示：

x	(－∞，－2)	－2	(－2,1)	1	(1，＋∞)
g′(x)	－	0	＋	0	＋
g(x)	↘?	極小值	↗?	不是極值	↗

11分
所以x＝－2是函數g(x)的極小值點，
即函數g(x)的極值點為－2．            12分