Question

【題目】若函數對定義域內的每一個值在其定義域內都存在唯一的使成立,則稱該函數為“依賴函數”.

(1)判斷函數是否為“依賴函數”，并說明理由；

(2)若函數在定義域上為“依賴函數”,求實數乘積的取值范圍；

(3)已知函數在定義域上為“依賴函數”,若存在實數使得對任意的有不等式都成立,求實數的最大值.

Answer 1

【答案】（1）是“依賴函數”，理由見解析；（2）；（3）實數的最大值為

【解析】

（1）利用新定義，對于函數的定義域內任意的，取，即可判斷是否“依賴函數”；
（2）因為在遞增，故，推出，得到，求出的表達式，然后求解的范圍．
（3）因，故在上單調遞增，求出的值，代入可得不等式都成立，即恒成立，利用判別式以及函數的單調性求解函數的最值即可．

解：（1）對于函數的定義域內任意的，取，

則，
且由在上單調遞增，可知的取值唯一，
故是“依賴函數”；
（2）首先證明：當在定義域上上單調遞增，且為“依賴函數”時，有。

假設，則當時，存在，使得，

當時，存在，使得，

由于在定義域上上單調遞增，故，

與矛盾，故。

因為在遞增，且為“依賴函數”

故，
即，
由，得，故，
，

解得，
在上單調遞減，

故；
（3）因，故在上單調遞增，且為“依賴函數”
從而，即，

進而，
解得或（舍），
從而，存在，使得對任意的，有不等式都成立，
即恒成立，

由，
得，由，

可得，
又在單調遞增，

故當時，，
從而，解得，

故實數的最大值為．