Question

定義：對于區間[a，b），（a，b），[a，b]，（a，b]，則b-a為區間長度．若關于x的不等式

x2+(2a2+2)x-a2+4a-7

x2+(a2+4a-5)x-a2+4a-7

＜0的解集是一些區間的并集，且這些區間長度的和不小于4，則實數a的取值范圍是

a≥3或a≤1

．

Answer 1

分析：注意到不等式左邊的分子、分母關于x的二次式的系數的關系，然后根據根與系數的關系表示出原不等式的解集，根據這些區間長度的和不小于4，建立關系式，解之即可．

解答：解：注意到不等式左邊的分子、分母關于x的二次式的系數的關系：a²+4a-5）-（2a²+2）=-a²+4a-7
設關于x的方程x²+（2a²+2）x-a²+4a-7=0，²+（a²+4a-5）x-a²+4a-7=0的兩根分別為x₁和x₂（x₁＜x₂）、x₃和x₄（x₃＜x₄）
注意到：x₁x₂=x₃x₄=-a²+4a-7=-（a-2）²-3＜0
 （x₁+x₂）-（x₃+x₄）=（a²+4a-5）-（2a²+2）=-a²+4a-7＜0，所以x₁、x₂、x₃、x₄的大小關系是x₁＜x₃＜x₂＜x₄，
故原不等式的解集為（x₁，x₃）∪（x₂，x₄），由題意得（x₃-x₁）+（x₄-x₂）≥4，即a^2-4a+7≥4，解得a≤1或a≥3．
故答案為：a≥3或a≤1．

點評：本題是新定義問題，實際上考查二次函數的圖象與性質，二次不等式解法．新定義問題，首先認真閱讀理解所給新定義的內容與意義，在轉化為已經學過的知識和方法．