Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{

Sn

n

}是首項(xiàng)與公差都為1的等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_n+2 an，試求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得Sn=n2，由此能求出a_n=2n-1．
（Ⅱ）由b_n=a_n+2 an=2n-1+2^2n-1，利用分組求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{

Sn

n

}是首項(xiàng)和公差都為1的等差數(shù)列，
∴

Sn

n

=1+（n-1）×1=n，∴Sn=n2，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，
n=1時(shí)上式成立，
∴a_n=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n-1，
∴b_n=a_n+2 an=2n-1+2^2n-1，
∴T_n=（1+2）+（3+2³）+…+（2n-1+2^2n-1）
=[1+3+5+…+（2n-1）]+（2+2³+2⁵+…+2^2n-1）
=n²+

2(1-4n)

1-4

=n2+

22n+1

3

-

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意分組求和法的合理運(yùn)用．