Question

如圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬20m，要求通行車輛限高5m，隧道全長2.5km，隧道的兩側(cè)是與地面垂直的墻，高度為3米，隧道上部拱線近似地看成半個(gè)橢圓．

（1）若最大拱高h(yuǎn)為6m，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少？
（2）若要使隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬l？
（已知：橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的面積公式為S=πab，柱體體積為底面積乘以高．）
（3）為了使隧道內(nèi)部美觀，要求在拱線上找兩個(gè)點(diǎn)M、N，使它們所在位置的高度恰好是限高5m，現(xiàn)以M、N以及橢圓的左、右頂點(diǎn)為支點(diǎn)，用合金鋼板把隧道拱線部分連接封閉，形成一個(gè)梯形，若l=30m，梯形兩腰所在側(cè)面單位面積的鋼板造價(jià)是梯形頂部單位面積鋼板造價(jià)的

2

倍，試確定M、N的位置以及h的值，使總造價(jià)最少．

Answer 1

分析：（1）先建立直角坐標(biāo)系，找到對應(yīng)橢圓方程再把b=h-3=3與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程，即可求出隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少；
（2）轉(zhuǎn)化為求半橢圓的面積最小值問題，對橢圓方程用基本不等式即可求出對應(yīng)的半橢圓面積以及滿足要求的拱高h(yuǎn)和拱寬l．
（3）先求出總造價(jià)的表達(dá)式，再利用導(dǎo)函數(shù)研究其最值即可．

解答：解：（1）如圖建立直角坐標(biāo)系，
則點(diǎn)P（10，2），橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1．
將b=h-3=3與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程，
得a=6

5

，此時(shí)l=2a=12

5

，
因此隧道的拱寬約為12

5

m．（5分）
（2）要使隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小，
由柱體的體積公式可知：只需半橢
圓的面積最小即可．
由橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，得

102

a2

+

22

b2

=1．
因?yàn)?span id="hxjhrb1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

102

a2

+

22

b2

≥

2×10×2

ab

，即ab≥40，（8分）
所以半橢圓面積S=

πab

2

≥

40π

2

=20π．（10分）
當(dāng)S取最小值時(shí)，有

102

a2

=

22

b2

=

1

2

，得a=10

2

，b=2

2

．
此時(shí)l=2a=20

2

，h=b+3=2

2

+3（12分）
故當(dāng)拱高為（2

2

+3）m、拱寬為20

2

m時(shí)，
隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小（13分）
（3）根據(jù)題意設(shè)M（x，2），N（-x，2），則10≤x＜15
設(shè)f(x)=2x+2

2

(x-15)2+(2-0)2

=2[x+

2(x2-30x+299)

]，（10≤x＜15）（11分）
則f′(x)=

2[ x2-30x+229 + 2 (x-15)]

x2-30x+229

令f'（x）=0，?x²-30x+221=0?x=13（x=17舍去），
且10≤x＜13時(shí)，f′（x）＜0，13＜x＜15時(shí)，f′（x）＞0，
∴x=13時(shí)，f（x）取最小值，此時(shí)M（13，2），N（-13，2），
代入橢圓方程得b=

25 14

14

∴h=3+b=3+

25 14

14

（13分）

點(diǎn)評：本題是對橢圓方程在實(shí)際生活中應(yīng)用的考查．涉及到了函數(shù)的最值問題．一般在研究函數(shù)的最值問題時(shí)，通常借助于導(dǎo)函數(shù)．