Question

如圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長(zhǎng)2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個(gè)橢圓形狀．
（1）若最大拱高h(yuǎn)為6米，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少？
（2）若最大拱高h(yuǎn)不小于6米，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬l，才能使半個(gè)橢圓形隧道的土方工程量最最小？（半個(gè)橢圓的面積公式為S=

π

4

lh，柱體體積為：底面積乘以高．本題結(jié)果精確到0.1米）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，建立坐標(biāo)系，可得P的坐標(biāo)并設(shè)出橢圓的方程，將b=h=6與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程，得a=

44 7

7

，依題意，可得l=2a，計(jì)算可得答案；
（2）根據(jù)題意，設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，將（11，4.5）代入方程可得

112

a2

+

4.52

b2

=1，結(jié)合基本不等式可得

112

a2

+

4.52

b2

≥

2×11×4.5

ab

，分析可得當(dāng)ab≥99且l=2a，h=b時(shí)，S=

π

4

lh=

πab

2

≥

99π

2

，進(jìn)而分析可得答案．

解答：解：（1）如圖建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)P（11，4.5），
橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1．
將b=h=6與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程，
得a=

44 7

7

，
此時(shí)此時(shí)l=2a=

88 7

7

≈33.3
因此隧道的拱寬約為33.3米；

（2）由橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，
根據(jù)題意，將（11，4.5）代入方程可得

112

a2

+

4.52

b2

=1．
因?yàn)?span id="2e0sm06" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

112

a2

+

4.52

b2

≥

2×11×4.5

ab

即ab≥99且l=2a，h=b，
所以S=

π

4

lh=

πab

2

≥

99π

2

當(dāng)S取最小值時(shí)，
有

112

a2

=

4.52

b2

=

1

2

，
得a=11

2

，b=

9 2

2

此時(shí)l=2a=22

2

≈31.1，h=b≈6.4
故當(dāng)拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米時(shí)，土方工程量最�。�

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的實(shí)際運(yùn)用，注意與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，建立合適的坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合橢圓的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行分析、計(jì)算、解題．