Question

如圖，某隧道設計為雙向四車道，車道總寬為8

7

m，要求通行車輛限高4.5m，隧道全長為2.5km，隧道的拱線可近似的看成半個橢圓形狀．
（1）若最大拱高h為6m，則隧道設計的拱寬l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6m，則應如何設計拱高h和拱寬l，才能使隧道的土方工程量最小？
（注：①半個橢圓的面積公式為S=

π

4

lh；②隧道的土方工程量=截面面積×隧道長）．

Answer 1

分析：（1）根據題意，建立坐標系，可得P的坐標并設出橢圓的方程，將b=h=6與點P坐標代入橢圓方程，求得a的值，依題意，可得l=2a，計算可得答案；
（2）根據題意，設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），將P代入方程，結合基本不等式，即可得答案．

解答：解：（1）以車道中點為原點，建立直角坐標系，
則P（4

7

，4.5），
設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
則

b=6 (4 7 )2 a2 + 4.52 b2 =1

，解之得：

a=16 b=6

此時l=2a=32．
（2）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
將P代入方程可得

(4 7 )2

a2

+

4.52

b2

=1，從而1=

(4 7 )2

a2

+

4.52

b2

≥

2×4 7 ×4.5

ab

，
故ab≥36

7

，所以S=

π

4

lh=

π

2

ab≥18

7

π，當且僅當l=8

14

，h=

9 2

2

＞6時取等號．
答：當拱高為

9

2

2

，拱寬為8

14

時，土方工程量最小．

點評：本題考查橢圓的實際運用，注意與實際問題相結合，建立合適的坐標系，設出點的坐標，結合橢圓的有關性質進行分析、計算、解題．