Question

【題目】已知是橢圓的右焦點,過點的直線交橢圓于兩點. 是的中點，直線與直線交于點.

（Ⅰ）求征：；

（Ⅱ）求四邊形面積的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）當直線斜率存在時，設出直線的方程，聯立直線方程和拋物線方程后可得中點坐標，故可用直線的斜率表示的坐標，求出的斜率后可證.注意直線斜率不存在的情形.

（Ⅱ）當直線斜率存在時，利用（Ⅰ）的可以計算 ，從而得到，當直線斜率不存在時，， 故可得最小值.

（Ⅰ）當直線斜率不存在時，直銭與軸垂直，，,

當直線斜率存在時，設斜率為，則直線的方程為，

設，，，則，，

聯立得

得，，

所以直線的方程為，，又，，

，；

（Ⅱ）當直線斜率不存在時，直線與軸垂直，

，

當直線斜率存在時，

設點到直線的距離為，點到直線的距離為，

則，，

，

所以四邊形面積的最小值為