Question

【題目】已知橢圓C：1（a＞b＞0），其右焦點為F（1，0），離心率為．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過點F作傾斜角為α的直線l，與橢圓C交于P，Q兩點．

（ⅰ）當時，求△OPQ（O為坐標原點）的面積；

（ⅱ）隨著α的變化，試猜想|PQ|的取值范圍，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）（i），（ii）[3，4），證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據題意可得c＝1，由離心率，以及b2＝a2﹣c2即可求解.

（Ⅱ）（i）利用點斜式求出直線l的方程為xy+1，將直線l的方程與橢圓聯立，根據韋達定理求出y1+y2，y1y2，進而求出，利用三角形的面積公式即可求解；（ii）設直線l的方程為x＝my+1，設P（x1，y1），Q（x2，y2），聯立方程組，利用韋達定理以及弦長公式可求出，設m2+1＝t，t＞1，再利用基本不等式即可求解.

（Ⅰ）由題意可的c＝1，

又，則a＝2，

則b2＝a2﹣c2＝3，

∴橢圓方程為1，

（Ⅱ）（i）設直線l的方程為xy+1，設P（x1，y1），Q（x2，y2），

聯立方程組，消x可得5y2+2y﹣9＝0，

∴y1+y2，y1y2，

則|y1﹣y2|

∴S△OPQ|OF||y1﹣y2|1，

（ii）當α時，設直線l的方程為x＝my+1，則tanα，

設P（x1，y1），Q（x2，y2），

聯立方程組，消x可得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0

∴y1+y2，y1y2，

∴|PQ|，

設m2+1＝t，t＞1，

，∵t＞1，∴∈（0，1），

∴∈（3，4），∴|PQ|∈（3，4），

當m＝0時，此時α，此時直線方程為x＝1，

則1，解得y＝±，

∴|PQ|＝3，

綜上所述隨著α的變化，|PQ|的取值范圍為[3，4）．