Question

【題目】已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F，過F且與x軸垂直的直線交該拋物線于A，B兩點，|AB|＝4．

（1）求拋物線的方程；

（2）過點F的直線l交拋物線于P，Q兩點，若△OPQ的面積為4，求直線l的斜率（其中O為坐標原點）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據拋物線的定義以及拋物線通徑的性質可得，從而可得結果；（2）設直線的方程為，代入，得，利用弦長公式，結合韋達定理可得的值，由點到直線的距離公式，根據三角形面積公式可得，從而可得結果.

（1）由拋物線的定義得到準線的距離都是p ，

所以|AB|＝2p＝4，

所以拋物線的方程為y2＝4x．

（2）設直線l的方程為y＝k(x-1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

因為直線l與拋物線有兩個交點，

所以k≠0，得，代入y2＝4x，得，且恒成立，

則，y1y2＝-4，

所以．

又點O到直線l的距離，

所以，解得，即．