Question

已知函數f(x)=log

1

2

2

sin(x-

π

4

)．
（1）求它的定義域，值域；
（2）判定它的奇偶性和周期性；
（3）判定它的單調區間及每一區間上的單調性．

Answer 1

（1）要使函數有意義，則

2

sin(x-

π

4

)＞0，解得2kπ＜x-

π

4

＜2kπ+π，
即2kπ+

π

4

＜x＜2kπ+

5π

4

，
即函數的定義域為(2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

)，
∵0＜

2

sin?(x-

π

4

)≤1，
∴函數f(x)=log

1

2

2

sin(x-

π

4

)≥0，
即函數的值域為[0，+∞）．
（2）∵函數的定義域關于原點不對稱，∴函數為非奇非偶函數函數．
∵函數y=

2

sin?(x-

π

4

)的周期是π，
∴函數f(x)=log

1

2

2

sin(x-

π

4

)周期是π．
（3）∵y=

2

sin?(x-

π

4

)的單調遞增區間為(2kπ+

π

4

，2kπ+

3π

4

]，
∴根據復合函數的單調性可知此時函數f(x)=log

1

2

2

sin(x-

π

4

)單調遞減．
∵y=

2

sin?(x-

π

4

)的單調遞減區間為[2kπ+

3π

4

2kπ+

5π

4

)，
∴根據復合函數的單調性可知此時函數f(x)=log

1

2

2

sin(x-

π

4

)單調遞增．
故函數的單調遞增區間為為[2kπ+

3π

4

2kπ+

5π

4

)，遞減區間為為(2kπ+

π

4

，2kπ+

3π

4

]．