Question

（文）數列{a_n}中a₁=0，，（1）求證數列為等差數列，并求出公差；（2）設數列{a_n}的前n項和為S_n，證明S_n<n-ln(n+1)；（3）設，證明：對任意正整數n，m，都有.

Answer 1

（1）略 （2）略

（1）∵即，∴公差d=-1.
且首項為，故是等差數列.
（2）∵，∴.
設f(x)=x-ln(x+1),(x>0)，則，f(x)在(0,+∞)↑，且f(x)在[0,+∞)上連續，∴f(x)>f(0)=0,∴x>0時x>ln(x+1), ∴，即.
∴a_n<1-ln(n+1)+lnn，∴S_n<(1-ln2+ln1)+(1-ln3+ln2)+…+[1-ln(n+1)+lnn]=n-ln(n+1)故S_n<n-ln(n+1).
（3）∵，∴，當時，則，∴，
即n≥4；又當時，則，即n≤3，因此得b₁<b₂<b₃<b₄>b₅>b₆>…，又∵b₁=0，n≥2時，b_n>0，∴0≤b_n≤b₄.∴對任意正整數n、m，都有