Question

已知函數f（x）=x³-3x．
（1）求曲線y=f（x）在點M（2，2）處的切線方程；
（2）求函數f（x）的單調區間；
（3）求函數f（x）的極值（要列出表格）．

Answer 1

（1）∵f'（x）=（x³-3x）'=3x²-3，
∴在點（2，2）處的切線的斜率k=f^′（2）=3×2²-3=9，
∴切線的方程為y=9x-16．
（2）f（x）=x³-3x，f′（x）=3x²-3，
令f′（x）＞0解得x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）
令f′（x）＜0解得x∈（-1，1），
故函數的單調增區間為（-∞，-1），（1，+∞），單調減區間為（-1，1）．
（3）f（x）=x³-3x，
f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
令f'（x）=0，得x=-1或x=1，…（2分）
當x在R上變化時，f'（x）與f（x）的變化情況如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	正	0	負	0	正
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

故f（x）在R上有極大值為f（-1）=2，極小值為f（1）=-2．