Question

已知函數f（x）=2x³+ax與g（x）=bx²+c的圖象都過點p（2，0），且在點p處有相同的切線．
（1）求實數a，b，c
（2）設函數F（x）=f（x）+g（x），求F（x）在[2，m]上的最小值．

Answer 1

（1）因為函數f（x）=2x³+ax與g（x）=bx²+c的圖象都過點p（2，0），
所以f（2）=0，即2×2³+2a=0，a=-8①；g（2）=0即4b+c=0②，
又f'（x）=6x²+a，g'（x）=2bx，
因為f（x），g（x）在點p處有相同的切線，所以f'（2）=g'（2），
即24+a=4b③由①②③得a=-8，b=4，c=-16．
（2）F（x）=f（x）+g（x）=2x³+4x²-8x-16，F‘（x）=6x²+8x-8，
解不等式F‘（x）=6x²+8x-8≥0得x≤-2或x≥

2

3

；
F′（x）=6x²+8x-8≤0得-2≤x≤

2

3

故單調增區間為（-∞，-2]，[

2

3

，+∞），單調減區間為[-2，

2

3

]，
因此，[2，m]是增區間，F（x）的最小值為F（2）=16+16-16-16=0，
故F（x）在[2，m]上的最小值為0．