Question

【題目】已知函數．

（1）討論函數的單調性；

（2）若，設，，若對任意，恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)分類討論參數的范圍，利用導數求函數單調性即可；

(2)利用導數證明函數與在區間的單調性，利用單調性化簡題設條件，構造函數，由函數單調性的定義判斷函數為減函數，得出在上恒成立，再次構造函數，分類討論參數利用導數的范圍，利用導數求函數單調性，結合在上恒成立，求出的范圍.

（1），令，

①當時，，所以在上單調遞增；

②當時，令，，所以在上單調遞增，在上單調遞減；

③當時，令，，所以在上單調遞減，在上單調遞增．

（2）

因為，當時，，在單調遞減；

，當時，，在單調遞減．

因為對任意，

不妨設，則由兩函數的單調性可得：，對任意恒成立

令

則對任意恒成立

即在上單調遞減

即在上恒成立，令

當時，在恒成立

，G(x)在上單調遞減，，滿足題意；

當時，G(x)有兩個極值點且，

∴在上，G(x)單調遞增，即對任意上恒成立，不滿足題意，舍去；

綜上：當時，不等式在恒成立．