Question

【題目】函數(shù)f（x）=（k﹣2）x2+2kx﹣3． （Ⅰ）當(dāng)k=4時(shí)，求f（x）在區(qū)間（﹣4，1）上的值域；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上至少有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）若f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當(dāng)k=4時(shí)，f（x）=2x2+8x﹣3=2（x+2）2﹣11，

f（x）的對(duì)稱軸是x=﹣2，f（x）在（﹣4，﹣2）遞減，在（﹣2，1）遞增，

所以f（x）min=f（2）=﹣11，f（x）max=f（1）=7，

所以f（x）的值域?yàn)閇﹣11，7）

（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上至少有一個(gè)零點(diǎn)，可分為以下三種情況：

①若k﹣2＞0即k＞2時(shí)，f（x）=（k﹣2）x2+2kx﹣3的對(duì)稱軸方程為 ，

又f（0）=﹣3＜0，由圖象可知f（x）在（0，+∞）上必有一個(gè)零點(diǎn)；

②若k﹣2=0即k=2時(shí)，f（x）=4x﹣3，令f（x）=0得 ，

知f（x）在（0，+∞）上必有一個(gè)零點(diǎn) ；

③若k﹣2＜0即k＜2時(shí)，要使函數(shù)f（x）在（0，+∞）上至少有一個(gè)零點(diǎn)，

則需要滿足 解得 ，

所以

綜上可知，若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上至少有一個(gè)零點(diǎn)，k的取值范圍為

（ III）①當(dāng)k=2時(shí)，f（x）=4x﹣3在區(qū)間[1，2]上單增，所以k=2成立；

②當(dāng)k＞2時(shí)，∵f（0）=﹣3＜0，顯然在f（x）在區(qū)間[1，2]上單增，所以k＞2也成立；

③當(dāng)k＜2時(shí)，∵f（0）=﹣3，∴必有 成立，解得 ．

綜上k的取值范圍為

【解析】（Ⅰ）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)在（﹣4，1）的值域即可；（Ⅱ）通過討論k的范圍，集合二次函數(shù)的性質(zhì)，確定k的范圍即可；（Ⅲ）通過討論k的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而確定k的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)的值域(求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小（大）數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的)，還要掌握函數(shù)單調(diào)性的判斷方法(單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．